A lógica booleana é um sistema matemático baseado no conceito de VERDADEIRO ($1$) e FALSO ($0$), e, embora concebido como um sistema puramente matemático, hoje é considerado como um fundamento da eletrônica digital e do desenho de computadores.
Podemos manipular os valores booleanos utilizando operações booleanas. A operação de negação ou não lógico, designada com o símbolo $\lnot$, é a operação mais simples e inverte o valor booleano, logo, $\lnot 0 = 1$ e $\lnot 1 = 0$. As outras operações booleanas são a conjunção ou E lógico, designada pelo símbolo $\land$, que resulta em VERDADEIRO (ou 1) quando os dois operadores possuem valor VERDADEIRO; e a operação de disjunção ou OU lógico, designada pelo símbolo $\lor$, cujo resultado é VERDADEIRO, sempre que qualquer operando tiver o valor VERDADEIRO.
\[\begin{align} 0 \land 0 = 0 & & 0 \lor 0 = 0 & & \lnot 0 = 1 \\ 0 \land 1 = 0 & & 0 \lor 1 = 1 & & \lnot 1 = 0 \\ 1 \land 0 = 0 & & 1 \lor 0 = 1 & & \\ 1 \land 1 = 1 & & 1 \lor 1 = 1 & & \end{align}\]As expressões booleanas são expressas a partir dos operadores boleanos ($\lnot$, $\lor$, $\land$), onde $\lnot$ tem a maior precedência, seguido de $\land$ e finalmente $\lor$, parenteses para inverter a prioridade de operadores, e de operandos booleanos, normalmente representados por variáveis booleanas (P, Q, …) e não diretamente por valores, por exemplo
\[P \lor (Q \land \lnot R)\]Um operando booleano representa a veracidade de um enunciado, por exemplo, P = “está chovendo”, ou Q = “hoje é segunda-feira”. Dessa forma, podemos escrever $\text{P}\land\text{Q}$ para representar o valor-verdade do enunciado “está chovendo e hoje é segunda-feira”, de forma similar, podemos representar outros enunciados, como $\lnot\text{P}\lor\text{Q}$.
Uma expressão booleana bastante comum é a expressão XOR ou OU exclusivo, designada pelo símbolo $\oplus$, que é verdadeira quando um dos dois operandos é verdadeiro, porém não os dois. A operação XOR é equivalente às expressões $\text{P}\land\lnot\text{Q}\lor\lnot\text{P}\land\text{Q}$ e $(\text{P}\lor\text{Q})\land(\lnot\text{P}\lor\lnot\text{Q})$
A operação de implicação, designada pelo símbolo $\to$, corresponde ao enunciado se P então Q, e é FALSA apenas quando $\text{P}\land\lnot{Q}$ é verdadeira. A operação de igualdade ou equivalência, designada pelo símbolo $\leftrightarrow$, corresponde ao enunciado “P se e somente se Q” e é VERDADE apenas se P e Q são iguais.
Todas as operações booleanas podem ser representadas utilizando-se apenas as operações $\lnot$ e $\land$ (ou, de forma análoga, $\lnot$ e $\lor$). As identidades abaixo mostram, em cada linha expressões booleanas equivalentes à esquerda e à direita, e a linha abaixo utiliza a equivalência anterior para mostrar que apenas duas das operações são necessárias:
\[\begin{align} \text{P} \lor \text{Q} & & & \lnot(\lnot\text{P}\land\lnot\text{Q}) \\ \text{P} \to \text{Q} & & & \lnot\text{P}\lor\text{Q} \\ \text{P} \leftrightarrow \text{Q} & & & (\text{P}\to\text{Q})\land(\text{Q}\to\text{P}) \\ \text{P} \oplus \text{Q} & & & \lnot(\text{P}\leftrightarrow\text{Q}) \end{align}\]A lei distributiva para E e OU é análoga a lei distributiva da adição e da multiplicação, nas formas
\[\begin{align} \text{P} \land (\text{Q} \lor \text{R}) = & (\text{P} \land \text{Q}) \lor (\text{P} \land \text{R}) \\ \text{P} \lor (\text{Q} \land \text{R}) = & (\text{P} \lor \text{Q}) \land (\text{P} \lor \text{R}) \end{align}\]