Linguagens Formais e Autômatos

Linguagens Regulares

A Hierarquia de Chomsky é uma forma de classificar tipos de linguagens, proposta originalmente por Noam Chomsky. Esta classificação tem sido utilizada em áreas como linguística, ciência da computação e teoria de lingagens formais.

Uma gramática formal descreve como criar palavras, a partir de um alfabeto, que são válidas de acordo com as regras sitáticas da linguagem. A hierarquia de Chomsky contém quatra classes de linguagens de complexidade crescente, onde cada classe mais complexa consegue gerar as linguagens mais simples.

A classe de linguagens mais simples da hierarquia de Chomsky é a clase das linguagens regulares.

A gramática de uma liguagem regular é limitada a um único símbolo não terminal à esquerda, e um símbolo terminal, possivelmente seguido de um símbolo não terminal a direita:

\[\begin{align} & S \rightarrow aS \\ & S \rightarrow a \end{align}\]

Podemos definir formalmente uma linguagem regular sobre um alfabeto $\Sigma$ de forma recursiva:

• A linguagem vazia, $\varnothing$, é uma linguagem regular
• $\forall a \in \Sigma$, o conjunto unitário ${a}$ é uma linguagem regular.
• Se $A$ é uma linguagem regular, $A^*$ é uma linguagem regular (e por isso que ${\varepsilon}$ é uma linguagem regular}.
• Se $A$ e $B$ são linguagens regulares, então $A \cup B$ (união, também representada como $A \mid B$) e $A \centerdot B$ (concatenação, também representada como $AB$), são linguagens regulares
• Nenhuma outra lingugem sbore $\Sigma$ é regular.

Teorema: Toda linguagem regular pode ser reconhecida por uma automato finito determinístico.

Ao longo do texto provaremos essas afirmações.

Autômatos Finitos Determitísticos (DFA)

Vimos a definição de autômatos finitos determinísticos na última aula.

É importante frisar que a relação de transição $\delta: Q\times\Sigma\rightarrow{Q}$ retorna um único estado possível. É essa característica que determina que o autômato finito tenha um comportamento determinístico, pois dado um estado $q \in Q$ e um símbolo $\alpha \in \Sigma$, só existe, no máximo, um estado $q^\prime \in Q$ que é resultado dessa relação.

Um autômato finito determinístico pode decidir (reconhecer) se uma palavra pertence a lingugem que ele define se, iniciando no estado $q_0$, e trocando de estado pela aplicação da relação de transição para cada símbolo da entrada, na ordem e m que se apresentam, o estado resultante seja $q_n \in F$ (onde $F$ é o conjunto de estados finais ou de aceitação).

Autômatos Finitos Não-determinísticos (NFA)

Ao contrário da computação determinística, onde sabemos qual o estado a máquina assume dado o estado atual um símbolo de entrada, em uma máquina não-determinística várias escolhas podem existir para o próximo estado em qualquer ponto.

Para simular um autômato finito não-determinístico, podemos utilizar técnicas de backtraking ou execução concorrente, onde cada caminho possível é executado em paralelo.

Um automato finito não-determinístico reconhece uma palavra se qualquer caminho executado terminar em um estado de aceitação.

Un NFA pode ter, em um mesmo estado, várias transições com o mesmo símbolo, para outros estados. Pode também ter transições envolvendo a palavra vazia.

Formalmente, um autômato finito não-determinístico é definido como uma 5-upla $(Q, \Sigma, \delta, q_0, F)$, onde:

• $Q$ é o conjunto de estados do autômato;
• $\Sigma$ é o alfabeto sobre a qual a linguagem é definida;
• $\delta: Q\times\Sigma\rightarrow\mathcal{P}(Q)$ é a função de transição;
• $q_0 \in Q$ é o estado inicial;
• $F \subseteq Q$ é o conjunto de estados de acitação.

Note que a diferença de um NFA para um DFA é a definição da relação de transição ($\delta), pois agora o resultado dessa relação é um conjunto de estados em $Q$.

Equivalência NFA-DFA

Apesar do poder de representação de um NFA ser maior que de um DFA, o poder computacional das máquinas criadas com eles é o mesmo, ou seja, qualquer linguagem reconhecida por um NFA pode ser reconhecida por um DFA.

Teorema: Todo autômato finito não-determinístico possui um autômato finito determinístico equivalente.

Fecho sob as operaçỗes regulares

NOTA: O fecho de uma operação significa que a aplicação desta operação sobre um ou mais elementos de um conjunto resulta em um elemento do mesmo conjunto.

Teorema: A classe das linguagens regulares é fechada sob a operação de união.

Teorema: A classe das linguagens regulares é fechada sob a operação de concatenação.

Teorema: A classe das linguagens regulares é fechada sob o fecho de Kleene.

Questões

1. Implemente, utilizando a linguagem Python, um reconhecedor de linguagens regulares baseado em automatos finitos determinísticos:
   • Dados dois conjuntos de dados, sendo:
     • Um a descrição de um automato, contendo:
       • Uma lista de símbolos do alfabeto;
       • Uma lista de estados;
       • Um conjunto de estados finais;
       • Nome do estado inicial;
       • Uma lista de regras de transição, onde cada regra é uma tupla contendo (origem, símbolo, destino)
     • Outro, uma lista de palavras.
   • O programa deve validar se a descrição do automato é válida e construir uma estrutura representando o automato.
   • Para cada palavra da lista de palavras:
     • Verificar se uma palavra válida, ou seja, se todos os símbolos da palavra fazem parte do alfabeto da lingugaem;
     • Verificar se o automato finito determinístico reconhece a palavra.
   • O programa deve retornar uma lista de pares contendo(palavra, resultado), onde resultado poder ser um valor do conjunto $\{\text{ACEITA}, \text{REJEITA}, \text{INVALIDA}\}$

Preparação para a próxima aula

Bibliografia

1. Capítulo 1, seções 1.3 e 1.4 (a partir da página 65) do livro Introdução a Teoria da Computação
2. Capítulos 3 (a partir da seção 3.6) e 4 do livro Linguages Formais e Autômatos de Paulo Blauth Menezes.
3. Capítulo 3 e seção 4.1 do Livro do Hopcroft

Videos

1. Theory of Computation - Lecture 2, Michael Sipser, MIT, 2020.
2. Theory of Computation - Lecture 3, Michael Sipser, MIT, 2020.

Recursos para essa aula

Bibliografia

1. Capítulo 1 até a seção 1.2 (página 64) do livro Introdução a Teoria da Computação
2. capítulo 3 (até a seção 3.5) do livro Linguages Formais e Autômatos de Paulo Blauth Menezes.
3. Capítulo 2 e 4 (menos a seção 4.1) do Livro do Hopcroft

Videos

1. Theory of Computation - Lecture 1, Michael Sipser, MIT, 2020.
2. Theory of Computation - Lecture 2, Michael Sipser, MIT, 2020.