Linguagens Formais e Autômatos

Linguagens

Um alfabeto, representado pelo símbolo $\Sigma$, é um conjunto finito de símbolos ou caracteres.

Uma palavra, cadeia de caracteres, sentença ou string sobre um alfabeto é uma sequência finita de símbolos do alfabeto justapostos.

Um elemento importante em linguagens é a palavra vazia, representada pelo símbolo $\varepsilon$, que é uma palavra de tamanho zero, ou seja, uma palavra sem nenhum símbolo.

Prefixo de uma palavra é qualquer sequência de símbolos contígua inicial da palavra. Sufixo é semelhante, mas no final da plavara. Subpalavra (ou substring) é qualquer sequência de símbolos contígua de símbolos da palvara. A palavra vazia é sempre um prefixo, sufixo ou subpalavra de uma palavra.

Em uma linguagem de programação, uma palavra é um programa.

Concatenação: A concatenação é uma operação binária denotada por $a \cdot b$ ou $ab$.

A concatenação é associativa,: $(ab)c = a(bc)$ e por isso não utilizamos parentesespara definir esta operação.

O elemento neutro da concatenação é a palavra vazia, ou seja, $\varepsilon{w} = w = w\varepsilon$.

A concatenação sucessiva é representava por $w^n$, onde $w$ é uma palavro e $n$ é o número de vezes que a palavra é concatedada, por exemplo, $w = a, w^4 = aaaa$

Seja um alfabeto $\Sigma$, então $\Sigma^{*}$ é o conjunto de todas as palavras possíveis a partir do alfabeto, incluindo $\varepsilon$, e $\Sigma^{+}$ é o conjunto formado por $\Sigma^{*} - {\varepsilon}$.

Exemplo, prove por indução que toda palavra $w$ sobre um alfabeto $\Sigma$ é uma palavra de $\Sigma^*$.

• Base de indução
  • $\varepsilon \in \Sigma^*$
  • para qualquer $x \in \Sigma$, value que $x \in \Sigma^*$
• Passo de Indução
  • Seja $u \in \Sigma$, $v \in \Sigma$, logo $u \in \Sigma^*$ e $v \in \Sigma^*$
  • Então $uv \in \Sigma^*\quad\square$

Uma linguagem formal sobre um alfabeto $\Sigma$, denotada por $L$ é um conjunto de palavras sobre $\Sigma$, logo $L \subseteq \Sigma^*$

• O conjunto vazio $\varnothing$ e o conjunto formao pela palvara vazia ${\varepsilon}$ são linguagens sobre qualquer alfabeto. Obviamente $\varnothing \neq {\varepsilon}$.
• Os conjustos $\Sigma^*$ e $\Sigma^+$ são linguagens sobre um alfabeto $\Sigma$.
• Linguagens podem ser infinitas, por exemplo, seja $\Sigma = {a, b}$, a linguagem formada por todos os elementos que formam palíndromos sobre $\Sigma$ é uma linguagem infinita.
• O conjunto de todas as lingugens sobre um alfabeto é dado por $\mathcal{P}(\Sigma^*)$.

Gramática

Uma gramática de Chomsky é uma 4-upla $G=(V, T, P, S)$, onde;

• $V$ é um conjunto finito de símbolos não-terminais
• $T$ é um conjunto finito de símbolos terminais
• $V$ e $T$ são disjuntos, logo, $V \cap T = \varnothing$
• $P$ é uma relação finita $P: (V \cup T)^+ \rightarrow (V \cup T)^*$ onde cada par da relação é uma regra de produção
• $S$ é o símbolo inicial da gramática.

As regras de produção $(\alpha, \beta)$ são representadas por $\alpha \rightarrow \beta$.

É possível que o mesmo símbolo possua várias regras associadas:

\[\begin{align} \alpha \rightarrow & \:\beta_1 \\ \alpha \rightarrow & \:\beta_2 \\ \dots \\ \alpha \rightarrow & \:\beta_n \end{align}\]

E nesse caso, por conveniência, podemos representar a regra como $\alpha \rightarrow \beta_1 | \beta_2 | \dots | \beta_n$.

A linguagem gerada são todas as palavros de símbolos terminais, deriváveis a partir do símbolo inicial $S$. Podemos definir todas as palavras de uma linguagem $L$ geradas a partir da gramática $G$ como:

\[L(G) = \{w in T^\* \| S \implies^\+ w\}\]

Onde $S\implies^+ w$ é a aplicação recursiva das regras de produção da gramática $G$, iniciando em $S$ até que $w$ seja gerado.

Autômato Finito

Estudar a teoria da computação a partir de uma máquina complexa como um computador real insere um número muito grande de variáveis para que seja possível construir uma teoria matemática manejável, sobre o o que é computação e o que é um computador. Ao invés disso, utilizamos modelos computacionais, que simplificam a forma como descrevemos uma máquina.

O primeiro modelo computacional que estudamos é o modelo mais simples, conhecido como máquina de estados finitos ou autômato finito.

Uma forma de representar um autômato finito é utilizando uma representação gráfica dos estados e transições:

Um automato finito pode ser definido formalemente como uma 5-upla $M = (\Sigma, Q, S, q_0, F)$, onde:

• $\Sigma$ é um alfabeto
• $Q$ é um conjunto de estados de $M$
• $\delta$ é uma relação que define as regras de transição definida por $\delta: (Q \times \Sigma) \rightarrow Q$, ou seja, $\delta$ é uma função onde dado um estado pertencente a $Q$ e um símbolo do alfabeto $\Sigma$ resulta em um estado de $Q$.
• $q_0$ é um estado e $q_0 \in Q$.
• $F$ é o conjunto de estados finais (ou de aceitação) e $F \subseteq Q$.

Seja $M = (\Sigma, Q, S, q_0, F)$ um autômato finito e suponha que $w = w_{1}w_{2}\dots{w}_n$ seja uma cadeia de caracteres ond cada $w_i$ pertence ao alfabeto $\Sigma$, então $M$ aceita $w$ se existe uma sequência de estados $r_0, r_1, \dots, r_n \in Q$ com três condições:

1. $r_0 = q_0$, ou seja, a máquina começa no estado inicial
2. $\delta(r_i, w_{i+1}) = r_{i+1}$, para i = 0, $\dots$, n-1. (A máquina troca de estados conforme a função de trasição.)
3. $r_n \in F$, que diz que a o último estado atingido é um estado final

Dizemos que $M$ reconhece a linguagem $A$ se $A = \{w | M\:\text{aceita}\:w\}$.

Por exemplo, dado o seguinte autômato determinísitico:

A linguagem aceita pelo autômato é composta por todas as palavras iniciadas e terminadas pela letra $a$, podem conter $b$, mas não possuem a subpalavra $bb$.

Note que para todo símbolo para o qual não há transição a partir de um estado, o autômato deveria ser direcionado a um estado de erro $e$, tal que $e \notin F$, e nesse estado todo símbolo em $\Sigma$ leva novamente a $e$.

Para deixar a representação gráfica mais simples, não incluimos o estado de erro, e assumimos que quando não existe uma transição $\delta(q_n, \alpha)$ para um estado $q_n \in Q$ e um símbolo $\alpha \in \Sigma$, o autômato $M$ não aceita a palavra.

Questões

1. Construa autômatos finitos que aceitam as seguintes linguagens:
   • Números pares de a’s e b’s.
   • Pelo menos um par de a’s ou b’s
   • Contém $abab$

Preparação para a próxima aula

1. Capítulo 1 até a seção 1.4 do livro Introdução a Teoria da Computação
2. Capítulo 2 e capítulo 3 (até a seção 3.5) do livro Linguages Formais e Autômatos de Paulo Blauth Menezes.
3. Capítulos 2 e 4 (menos a seção 4.1) do Livro do Hopcroft

Recursos para essa aula

Bibliografia

1. Capítulo 1 até a página 44 do livro Introdução a Teoria da Computação
2. Capítulo 2 e capítulo 3 (até a seção 3.3) do livro Linguages Formais e Autômatos de Paulo Blauth Menezes.
3. Capítulo 1, seção 1.5 e Capítulo 2 até a seção 2.2 do Livro do Hopcroft