Linguagens Formais e Autômatos

Questão 1

Semelhante a um autômato finito mas com uma memória ilimitada e irrestrita, uma máquina de Turing é um modelo muito mais preciso de um computador de propósito geral. Uma máquina de Turing pode fazer tudo o que um computador real pode fazer, entretanto mesmo ela não pode resolver certos problemas. Num sentido muito real, esses problemas estão além dos limites teóricos da computação.

Considere a seguinte máquina de Turing M que aceita apenas números binários palíndromos cujo comprimento é par:

Considerando que o estado inicial de M é $q0$, que a sua fita se encontra inicializada com a entrada $110011$ e infinitos símbolos $B$ à esquerda e à direita, e que a cabeça de leitura encontra-se inicialmente no símbolo mais à esquerda da entrada, avalie as afirmações a seguir.

1. Após 4 movimentos de M, o conteúdo da fita, excluindo-se os símbolos “B”, é “110011”.
2. Após 8 movimentos de M, o conteúdo da fita, excluindo-se os símbolos “B”, é “1001”.
3. A máquina irá certamente travar em um estado de aceitação.
4. Existe um autômato com pilha que também aceita a linguagem de M.

Quais afirmações são corretas?

Corrija as afirmações falsas.

Questão 2

Dado o alfabeto $\Sigma = \{(,),0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,+,-\}$ e uma linguagem $L$ definida sobre esse alfabeto, $L=\{w|w\in\Sigma^{*}, \text{para cada ocorrência de ‘(‘ em w, existe uma ocorrência de ‘)’}\}$.

Com relação a linguagem $L$, avalia as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.

1. A linguagem $L$ não pode ser considerada regular

PORQUE

2. Autômatos finitos não possuem mecanismos que permitam contar infinitamento o número de ocorrências de determinado símbolo em uma cadeia.

A respeito dessas asserçỗes, assinale a opção correta.

• As asserções 1 e 2 são proposições verdadeiras, e a 2 é uma justificativa correta da 1.
• As asserções 1 e 2 são proposições verdadeiras, mas a 2 não é uma justificativa correta da 1.
• A asserção 1 é verdadeira, e a asserçao 2 é falsa.
• A asserção 1 é falsa, e a asserçao 2 é verdadeira.
• As asserçẽs 1 e 2 são falsas.

Questão 3

estado	símbolo lido na fita	símbolo gravado na fita	direção	próximo estado
início	!	!	direita	0
0	0	1	direita	0
0	1	0	direita	0
0	-	-	esquerda	1
1	0	0	esquerda	1
1	1	1	esquerda	1
1	!	!	direita	parada

Na tabela acima, estão descritas as ações correspondentes a cada um dos quatro estados (início, 0, 1, parada) de uma máquina de Turing, que começa a operar no estado início processando símbolos do alfabeto $\Sigma={0,1,!, -}$, em que “!” representa o início da fita e, “$-$” representa o espaço em branco. Considere que, no estado início, a fita a ser processada esteja com a cabeça de leitura/gravação na posição 1, conforme ilustrado a seguir.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	…
!	0	1	1	0	1	-	-	-	-	-	…

Considerando essa situação, qual o conteúdo da fita (12 primeiras posições) após a máquina atingir o estado de parada.

Resposta...

! 1 0 0 1 0 - - - - - -

Questão 4

Qualquer expressão aritmética binária pode ser convertida em uma expressão totalmente parentizada, bastando reescrever cada subexpressão binária $a \otimes b$ como $(a \otimes b)$, em que $\otimes$ denota um operador binário. Expressões nesse formato podem ser definidas por regras de uma gramática livre de contexto, conforme apresentado a seguir. Nessa gramática, os símbolos não-terminais $E$, $S$, $O$ e $L$ representam expressões, subexpressões, operadores e literais, respectivamente, e os demais símbolos das regras são terminais.

\[\begin{align} E \rightarrow & \: ( S O S ) \\ S \rightarrow & \: L | E \\ O \rightarrow & \: + | - | \times | \div \\ L \rightarrow & \: a | b | c | d | e \\ \end{align}\]

Tendo como referência as informações acima, faça o que se pede a seguir:

1. Mostre que a expressão $(a \times (b \div c))$ pode ser obtida a partir da gramática dada.
2. Dada a expressão $(((a + b) \times c) + (d \times e))$, existe apenas uma árvore de derivação possível? É correto afirmar que a gramática acima é ambígua? Justifique sua resposta.

Questão 5

Nota: Difícil, mas boa para testar o conhecimento aprofundado dessa disciplina.

Seja BALAFD = { $\langle$ M \rangle | M$ é um AFD que aceita alguma cadeia que contém o mesmo número de 0 e 1 }. Mostre que BALAFD é decidível. (Dica os teoremas de Linguages Livres de Contexto são úteis aqui.)

Resposta...

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A linguagem de todas as cadeias com igam número de 0s e 1s é uma linguagem livre de contexto, gerada pela gramática $S \rightarrow 1S0S | 0S1S | \varepsilon$. Seja P o autômato de pilha (AP) que reconece essa linguagem, construa uma MT B para BALAFD, que opera da seguinte forma: Sobre a entrada $\langle B \rangle$, onde B é um AFD, use B e P para construir um novo AP R que reconheça a intersecção das linguagens de B e P. Então, teste se a linguagem de R é vazia. Se sua linguagem for vazia, rejeite, caso contrário, aceite.