Linguagens Formais e Autômatos

Propriedades das Linguagens Livres de Contexto

Última ocorrência: Não ocorreu

Propriedades das linguagens livres de contexto

Aqui, pretendemos descobrir:
1. Como determinar se uma linguagem é livre de contexto?
2. A classe das linguagens livres de contexto é fechada para:
  - União?
  - Intersecção?
  - Concatenação?
  - Complemento?
3. Como verificar se uma linguagem livre de contexto é finita, infinita ou vazia?
O que temos certeza é que não temos um algoritmo capaz de analizar duas linguagens livres do contexto quaisquer e decidir se são iguais ou diferentes.

Como determinar se uma linguagem é livre de contexto?

Para mostrar que uma linguagem é livre de contexto, é suficiente que se crie um autômato de pilha ou uma gramática livre de contexto para expressá-la.

Para demontrar que uma linguagem não é livre do contexto, utilizamos o lema do bombeamento para lingagens livres de contexto, de forma análoga às linguagens regulares.

O lema do bombeamento para linguagens livres de contexto define que, se $L$ é uma linguagem livre de contexto, então:

existe uma constante $n$ , tal que:
- para qualquer palavra $w \in L$ , onde $| w | \geq n$ , $w$ pode ser definida com $w = u x v y w$ , onde:
  - $| x v y | \leq n$
  - $| x y | \geq 1$
- para todo $i \geq 0$ , temos que $u x^{i} v y^{i} w \in L$

Assim como no caso das linguagens regulares, a prova é por contradição.

Exemplo 1

A linguagem $L = a^{n} b^{n} c^{n}$ é uma LLC?

Assumimos que $L$ é uma LLC, e que existe $w \in L$ , logo $w = a^{n} b^{n} c^{n}$ .

Pelo lema do bombeamento, $w = u x v y z$ e $| x v y | \leq n$ , logo, sabemos que $x v y$ só pode conter:

apenas $a$
apenas $b$
apenas $c$
uma combinação de $a$ e $b$
uma combinação de $b$ e $c$

É impossível conter $a$ , $b$ e $c$ , porque $x v y$ não é grande o suficiente para isso (uma vez que $| x v y | \leq n$ ).

Agora, bombeamos “para baixo”, fazendo com que $i = 0$ , e a palavra resultante $u v w$ não pode mais conter o mesmo número de $a$ , $b$ e $c$ , porque a palavra $x y$ só pode conter, no máximo, dois dos símbolos, e portanto o resultado não fará parte de $L$ .

Exemplo 2

A linguagem $a^{i} b^{j} c^{k}, 0 \leq i \leq j \leq k$ é uma LLC?

Para essa demonstração vamos partir do mesmo princípio do exemplo anterior e assumir que $i = j = k$ , e assim como antes, $x v y$ não pode conter o mesmo número de $a$ , $b$ e $c$ , logo, se $x v y$ contém:

nenhum $a$
- bombeando com $i = 0$ , o número de $a$ não muda, mas o número de $b$ e $c$ reduz, e portanto $x^{0} v y^{0} \notin L$ ;
nenhum $b$ , mas contém $a$
- bombeando com $i = 2$ , o número de $a$ será maior que o número de $b$ , e portanto $x^{2} v y^{2} \notin L$ ;
nenhum $b$ , mas contém $c$
- bombeando com $i = 0$ , o número de $b$ não muda, mas o número de $c$ reduz, e portanto $x^{0} v y^{0} \notin L$ ;
nenhum $c$
- bombeando com $i = 2$ , o número de $a$ ou $b$ será maior que o número de $c$ , e portanto $x^{2} v y^{2} \notin L$ .

Como conseguimos uma contradição para todos os casos, a linguagem não é livre de contexto.

Exemplo 3

A linguagem $w w$ é uma LLC?

Para demonstrar esse caso, precisamos ter cuidado na escolha da palavra para analisar, pois se escolhermos $0^{n} 10^{n} 1$ , poderímos dividir a palavra como:

\underset{u}{\underset{⏟}{000 \dots 000}} \underset{x}{\underset{⏟}{0}} \underset{v}{\underset{⏟}{1}} \underset{y}{\underset{⏟}{0}} \underset{w}{\underset{⏟}{000 \dots 000}}

E conseguiríamos bombear $x^{i} v y^{i}$ .

Mas se escolhermos a palava $0^{n} 1^{n} 0^{n} 1^{n}$ , podemos demonstrar que essa palavra não pode ser bombeada.

Se $x v y$ contem os primeiros $0$ , ao bombearmos com $i = 2$ teremos mais zeros na primeira metade, logo $w \notin L$ ;
Obtemos o mesmo resultado escolhendo apenas um dos símbolos em qualquer ponto da palavra.
Se escolhermos uma combinação de $0$ e $1$ em qualquer metade da palavra e bombearmos com $i > 2$ , obteremos mais elementos nessa metade do que na outra metade palavra, logo $w \notin L$ ;
Só nos resta escolhermos uma posição no meio da palvra, e se bombearmos com $i] 0$ , obteremos $0^{n} 1^{i} 0^{j} 1 n$ , e claramente, $i < n$ e $j < n$ , logo $w \notin L$ .

Logo, $L = w w$ não é uma LLC.

Fechamento de operações nas LLC

União

As LLC são fechadas para a união.

Dado um autômato de pilha $M_{1}$ que reconhece $L_{1}$ e um autômato de pilha $M_{2}$ que reconhece $L_{2}$ , basta criar um automato de pilha não determinístico $M_{3}$ que reconhece $M_{1}$ e $M 2$ , e decide por um ou outro caminho sem consumir a entrada ( $ε$ ) e sem modificar a pilha. O autômoto $M_{3}$ reconhecerá $L_{3} = L_{1} \cup L_{2}$ .

Concatenação

As LLC são fechadas para a concatenação.

Dada uma gramática $G_{1} = (V_{1}, T_{1}, P_{1}, S_{1})$ e uma gramática $G_{2} = (V_{2}, T_{2}, P_{2}, S_{2})$ , podemos criar uma gramática $G_{3}$ como

G_{3} = (V_{1} \cup V_{2} \cup S, T_{1} \cup T_{2}, P_{1} \cup P_{2} \cup {S \to S_{1} S_{2}}, S)

Claramente, $G_{3}$ é uma linguagem livre de contexto e formada pela concatenação de uma palavra de $L_{1}$ e uma palavra de $L_{2}$ .

Intersecção

As linguagens livres de contexto não são fechadas para a intersecção.

Sejam $L_{1} = {a^{n} b^{n} c^{m} | n \geq 0, m \geq 0}$ e $L_{2} = {a^{m} b^{n} c^{n} | n \geq 0, m \geq 0}$ , ambas linguagens são livres de contexto (Desafio: você consegue demonstrar isso?), pela intersecção das duas linguagens, podemos obter $L_{3}$

L_{3} = {a^{n} b^{n} c^{n} | n \geq 0}

Como sabemos que $L_{3}$ não é uma linguagem livre de contexto, demonstramos que a intersecção não é fechada para as LLC pro contra-exemplo.

Complemento

Como a intersecção pode ser representada em termos da união e do complemento, e considerando que a intersecção não é fechada para as linguagens livres de contexto, não se pode afirmar que o complemento de uma linguagem livre de contexto é livre de contexto.

Recursos para esta aula

Recursos online

The Pumping Lemma for Context Free Grammars