Linguagens Formais e Autômatos

Conversão de Autômatos Finitos em Expressões Regulares

Na última aula vimos como transformar uma expressão regular em um automato finito, provando que as expressões regulares, no máximo, representam o mesmo tipo de linguagem reconhecida pelos automatos finitos determinísticos (as linguagens regulares). Para provar a equivalência entre os dois formalismos, é necessário que demonstremos que qualquer autômato finito determinístico possa ser transformado em uma expressão regular.

Pra facilitar a conversão do de um automato finito em uma expressão regular vamos estudar um novo conceito, Autômato Finito Não-Determinístico Generalizado (GNFA, do inglês Generalized Nondeterministic Finite Automaton).

Autômato Finito Não-Determinístico Generalizado (GNFA)

Um autômato Finito Não-Determinístico Generalizado é semelhante a um NFA, mas permite o uso de expressões regulares como símbolo de ativação das transições.

A diferença na computação de um GNFA é que ao invés de ler um único símbolo, a transição irá consumir toda uma string.

A aceitação ou rejeição de uma entrada é a mesma do NFA, se houver qualquer caminho que, ao final da entrada, levar a um estado de aceitação, a entrada será aceita, caso contrário, ela será rejeitada.

Por conveniência, vamos assumir uma forma especial do GNFA, onde:

• Existe apenas um estado de aceitação, separado do estado inicial.

• Devem existir transições de entrada e saída entre todos os estados do autômato:
  • o estado inicial só possui transições de saída.
  • o estado final só possui transições de entrada.

Prova da conversão GNFA em Expressões regulares

Lema: Todo GNFA $G$ tem uma expressão regular $R$ equivalente.

Prova: Por indução do número de estados $k$ de $G$.

• Base: $k = 2 : G = \rightarrow\bigcirc\overset{r}{\rightarrow}\bigodot$
  • Lembre-se que $G$ está na forma especial
  • $R = r$
• Passo de Indução ($k > 2$)
  • Assumimos que o lema é verdade para $k-1$ estados e provar para $k$ estados.
  • Ideia: Converter o GNFA de $k$ estados para o GFNA com $k-1$ estados.
    • Escolher um estado qualquer $x$ que não seja o estado inicial ou o estado final.
    • Remover o estado $x$.
    • reconstruir todos os caminhos que passavam por $x$
    • Faço o mesmo para todo par de estados $q_i, q_j$

Lema do Bombeamento

Para mastrar que uma linguagem é uma linguagem regular, é preciso contruir um DFA, ou criar a liguagem por indução utilizando os fechos de linguagens regulares.

Para mostrar que uma linguagem não é regular é preciso mostrar uma prova, e não é possível dizer que não existe um DFA para ela, pois isso não é uma prova.

Dado o alfabeto $\Sigma = \{0, 1\}$:

• Seja $B = \{w | w\; \text{tem um numero igual de 0s e 1s}\}$
  • Intuição: $B$ não é regular porque DFAs não podem contar infinitamente.
• Seja $C = \{w | w\; \text{tem um numero igual de substrings 01 e 10}\}$
  • $0101 \notin C$
  • $0110 \in C$
  • Intuição: $C$ não é regular porque DFAs não podem contar infinitamente.
  • Na realidade, $C$ é regular.
    • Regex: $00^{*}(11^{*}00^{*})^{*}\,|\,11^{*}(00^{*}11^{*})^{*}$

Lema do Bombeamento: Para toda linguagem regular $A$, existe um número $p$ (o tamanho do bombeamento), de tal modo que se $s \in A$ e $|s| \ge p$ então $s = xyz$ onde:

• $xy^{i}z \in A, \forall{i} \ge 0 \quad \quad \quad y^i = \underbrace{yyy\cdots{y}}_{i}$
• $y\ne\varepsilon$
• $|xy|\le{p}$

Informalmente: $A$ é regular se cada cadeia longa em $A$ pode ser bombeada e o resultado continua em $A$.

Prova: Seja $M$ um DFA que reconhece $A$, seja $p$ o número de estados em $M$, escolha $s \in A$ onde $|s| \ge p$

• $M$ vai, obrigatoriamente repetir um estado $q_j$ quando avaliar $s$, porque $s$ é muito longa.
• Logo, $xyyz$ também é aceita.

Aplicação do Lema do Bombeamento

Seja $D = \{0^k1^k | k\ge{0}\}$, demonstraremos que D não é regular por uma prova por contradição.

• Assumimos que $D$ é regular, logo podemos aplicar o lema do bombeamento.
• Pelo lema do bombeamento, dizemos que $s = 0^p1^p \in D$
• Podemos, então, divivir a cadeia, tal que $s = xyz$ satisfazendo as três condições.
• Se cortarmos de forma que $|xy| \le p$, ao criar $xyyz$, haverá um número excessivo de $0$, logo $xyyz \notin D$.
• Como esse resultado contradiz o que assumimos (que $D$ é regular), temos que assumir que $D$ não é regular.

Seja $F = \{ww | w \in \Sigma^*\}$, demonstraremos que F não é regular por uma prova por contradição.

• Assumimos que $F$ é regular, logo podemos aplicar o lema do bombeamento.
• Pelo lema do bombeamento, dizemos que $s = 0^p0^p \in D$
  • Se escolhermos $y = 00$, a palavra $xyyz$ ainda estará em $F$, porém isso não prova que $E$ é regular.
  • A escolha da cadeia utilizada e como ela será dividida pode ter resultados diferentes, mas basta que seja demonstrado que uma cadeia não funcione para que a linguagem não seja regular.
• Escolhemos, então, uma outra palavra $s = 0^p10^p1 \in F$
• Tentaremos, novamente, divivir a cadeia, tal que $s = xyz$ satisfazendo as três condições.
• Se cortarmos de forma que $|xy| \lt p-1$, ao criar $xyyz$, haverá um número excessivo de $0$, logo $xyyz \notin F$.
• Como esse resultado contradiz o que assumimos (que $F$ é regular), temos que assumir que $F$ não é regular.

Voltamos agora a linguagem $B = \{w | w\; \text{tem um numero igual de 0s e 1s}\}$:

• Vamos assumir, para provar por contradição, que $B$ é regular.
• Sabemos que $0^*1^*$ é regular, logo, $B \cap 0^*1^*$ é regular (fechada para intersecção das linguagens regulares).
• Como $D = B \cap 0^*1^*$ e já mostramos que $D$ não é regular, chegamos a uma contradição!
• Logo $B$ não pode ser regular!