Linguagens Formais e Autômatos

Demonstrações

• Demonstrações são métodos para averiguar a verdade.
• Como averiguar a verdade na sociedade?
  • Experimentação e Observação
  • Amostragem e contra-exemplo
  • Juízes e juris
    • Verdade baseada em evidências “suficientes”
  • Religião (Mundo de Deus)
    • Convicção e Dogmas
  • Chefes e clientes
  • Autoridades
    • ex.: Professores

Uma prova matemática é a verificação de uma proposição através de uma cadeia de deduçẽos lógicas de um conjunto de axiomas.

Uma proposição é uma afirmação que pode ser VERDADEIRA ou FALSA. Por exemplo, $\forall n \in \mathbb{N}, n^2 + n + 41$ é primo.

• $\forall \rightarrow$ para todo

Um predicado é uma proposição cuja verdade depende do valor de uma variável.

É importante que a demonstração matemática seja completa, e, por isso, não pode ser baseada unicamente na observação.

Vamos utilizar o exemplo da proposição $a^4 + b^4 + c^4 = d^4$ não te msolução com positivos inteiros.

Esta proposição (um caso específico da Conjectura da soma de potências de Euler){:target=”_blank”}, demorou mais de 200 anos para ser provada falsa. Em 1988, Richard Frye mostrou o contra-exemplo com os menores valores, com a=95.800, b=217.519, c=414.560 e d=422.481.

Uma outra proposição ligada a decomposição de inteiros e a teoria dos números é a de que $3\mid 3(x^2 + y^2) = z^2$ não tem solução com inteiros positivos. E esta proposição também é falsa, mas o menor contra-exemplo tem mais de 1.000 dígitos.

Esse tipo de problema é importante pois são problemas que envolvem curvas elípticas (na concepção ou na prova), e estão intimamente ligados à quebra de sistemas criptográficos.

Uma outra proposição importante é a de que as regiões de um mapa podem ser coloridas com 4 cores de forma que regiões adjacences tem cores diferentes.

• Provas por imagens foram propostas, no entanta já vimos que este tipo de prova sempre levanta suspeitas.
• Em 1977, uma prova utilizando um computador foi proposta, mas ela sofreu a mesma suspeição das provas por imagens (como garantir que não havia erros no programa?)
• Existe uma prova humana, proposa no início do século 21 (~2005), mas até hoje não há verificação da correção da prova.

Uma outra conjectura ainda não provada é a de que, fora o número 2, todo numero inteiro, positivo, e par, é formado pela soma de dois números primos (Goldbach, 1742). Sabemos que a conjectura se mantém até $4\times 10^{48}$, mas ainda não se sabe se a conjectura é sempre verdade. (É um dos problemas em abertos mais antigos da matemática.)

Axiomas são proposições assumidas como verdade. São utilizados em provas para definir as premissas utilizadas na prova.

Axiomas podem ser contraditórios em diferentes contextos, por exemplo:

• Na geometria euclidiana, dado uma linha L e um ponto $P \notin L$, existe exatamente uma linga através de P que é paralela a L.
• Na geometria esférica, para a mesma proposição, não existe nenhuma linha paralela a L.
• E na geometria hyperbólica, existem infinitas linhas paralelas a L.

Axiomas deveriam ser consistentes e completos. * Axiomas são consistentes se nenhuma proposição pode ser provada simultaneamente VERDADEIRO e FALSO. * Axiomas são completos se podem ser utilizados para provar que todas proposições são VERDADEIRO ou FALSO.

Gödel provou que nenhum conjunto de axiomas podem ser consistentes e completos. Normalmente se opta por axiomas consistentes, mesmo que algumas proposições não possam ser provadas.

Prova por Contradição

Uma prova por contradição é uma forma de prova que estabelece que a verdade ou validade de uma proposição ao mostrar que assumindo que a proposição é falsa leva a uma contradição, e uma vez que a proposição não pode ser falsa, ela só pode ser verdadeira.

Theorema: $\sqrt{2}$ é irracional.

Para provar o teorema, utilizamos prova por contradição.

• Assumimos que $\sqrt{2}$ é racional.
  • $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$
    • $\frac{a}{b}$ é uma fração com termos mínimos, ou seja, a e b não tem divisores comuns
    • $2 = (\frac{a}{b})^2$
    • $2b^2 = a^2$
      • Como o quadrado de todo número ímpar é impar, e o quadrado de $a$ deve ser par, sabemos que a é par, logo $2\mid a$ (2 divide a).
    • $4 \mid a^2$

    • $4

      2 b^2$

    • 2

      b^2

      • Logo, b é par
  • Como $a$ e $b$ são pares, $\frac{a}{b} não pode ser uma fração com termos mínimos, o que é uma contradição em relação a hipótese, logo, ela é falsa.
• Como a hipótese é falsa, por contradição, provamos que $\sqrt{2}$ é irracional. $\square$

Prova por indução

A prova por indução é um método de provar que um predicado é verdadeiro para todo número natural $n$. A prova é realizada provando-se um caso simple, e demonstrando que se assumirmos que se a proposição é verdadeira para um caso, também é verdadeira para o caso seguinte.

Seja $P(n)$ um predicado, se $P(0)$ é VERDADEIRO e $\forall{n} \in \mathbb{N}, ( P(n) \rightarrow P(n+1))$ é VERDADEIRO, então $\forall{n} \in \mathbb{N}, P(n)$ é verdadeiro.

Um exemplo informal da prova por indução pode ser a prova de que podemos subir numa escada o quanto quisermos, ao provar que podemos subir no primeiro degrau (caso base), e podemos atingir o próximo degrau a partir do degrau atual (passo de indução).

Uma prova por indução consiste de dois casos, o primeiro é o caso base que prova que o predicado é verdadeiro para o caso inicial ($P(0)$), sem assumir conhecimento algum sobre os outros casos. O segundo caso é o passo de indução, onde deve se provar que, se o predicado é válido para um caso qualquer $P(n)$ então o predicado deve ser verdade também para >$P(n + 1)$.

Com esses dois passos se estabelece que o predicado é valido para qualquer número natural $n$.

O caso base não precisa ser necessariamente o caso onde $n = 0$, mas deve representar o caso mais “simples” (que não depende de nenhum outro) do predicado.

Exemplo 1: Teorema: $\forall n \ge 0, \sum_{1}^{n} = \frac{n(n+1)}{2}$

• Predicado: $P(n) = \sum_{1}^{n} = \frac{n(n+1)}{2}$
• Caso Base: $P(0) = 0$ (podemos utilizar também $P(1) = \frac{1(1+1)}{2} = 1$)
• Passo de Indução: mostrar que $P(n) \rightarrow P(n+1)$
  • A soma de $n$ números é $1 + 2 + \dots + n$, logo, a soma de $n + 1$ números é igual a $1 + 2 + \dots + n + (n + 1)$
  • Logo, $\frac{n(n+1)}{2} + (n+1)$
  • $\frac{n(n+1) + 2(n+1)}{2}$
  • $\frac{n^2 + n + 2n + 2}{2}$
  • $\frac{(n + 1)(n + 2)}{2}$
  • $\frac{(n+1)((n+1) + 1))}{2} = P(n+1)$
  • Logo $P(n) \rightarrow P(n+1)\quad\square$

Exemplo 2: Teorema: $\forall n \in \mathbb{N}, 3 \mid (n^3 - n)$

• Predicado: $3 \mid (n^3 - n)$
• Caso base: $P(0) = 0, 3\mid 0$
• Passo de Indução:
  • $P(n+1) = 1 \mid (n+1)^3 - (n+1)$
  • $n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - n - 1$
  • $n^3 - n +3n^2 + 3n$
  • $P(n) + 3n^2 + 3n$
  • Como assumimos que $P(n)$ é verdadeiro, $3 \mid P(n)$
  • É óbivo que $3 \mid 3n^2 + 3n$.
  • Como $P(n) \rightarrow P(n+1)$ o predicado é verdadeiro. $\square$

Questões

1. Prove que $\forall n \in \mathbb{N}, n^2 + n + 41$ é falso.
2. Encontre o erro na seguinte demonstração:

\[\begin{align} x = y & & & \\ x^2 = xy & & & \times x \\ x^2 - y^2 = xy - y^2 & & & - y^2\\ (x+y)(x-y) = y(x-y) & & & \text{fatoração} \\ x + y = y & & & \divsymbol (x - y) \\ y + y = y & & & \text{de acordo com x=y} \\ 2y = y & & & \text{soma} \\ 2 = 1 & & & \divsymbol y \end{align}\]

Preparação para a próxima aula

1. Capítulo 1 até a página 44 do livro Introdução a Teoria da Computação
2. Capítulo 2 e capítulo 3 (até a seção 3.3) do livro Linguages Formais e Autômatos de Paulo Blauth Menezes.
3. Capítulo 1, seção 1.5 e Capítulo 2 até a seção 2.2 do Livro do Hopcroft

Recursos para essa aula

Bibliografia

1. Capítulo 0 do livro Introdução a Teoria da Computação
2. Livro do Hopcroft(físico), capítulo 1, seções 1.1 até 1.4 (inclusa).

Videos

1. Aulas 1 e 2 de MIT 6.042j Mathematics for Computer Science 2010
2. Videos da unidade 1, Proofs, de MIT 6.042j Mathematics for Computer Science 2019