Complexidade de Algoritmos e Análise de Desempenho

Assunto

1. Heaps
   • Um heap é uma estrutura em árvore que satisfaz uma propriedade do heap.

   • Um maxheap é um heap cuja propriedade a ser satisfeita é

     dado um nó C qualquer, o a chave do nó P, que é pai de C é maior que a chave de C.

   • Um minheap é um heap cuja propriedade a ser satisfeita é

     dado um nó C qualquer, o a chave do nó P, que é pai de C é menor que a chave de C.

   • Heaps são a forma mais eficiente de implementação de filas de prioridade.
   • Uma implementação bastante comum é a de heap binários, que formam árvores binárias quase completas.
   • Operações:
     • find_min/find_max: $O(1)$
     • insert/push: $O(\log{n})$ (heap binário) ou $\Theta(1)$ (amortizado, para outras implementações)
     • delete_min/delete_max/pop: $O(\log{n})$
     • increse_key/decrease_key: $O(\log{n})$ (heap binário) ou $\Theta(1)$ (Fibonacci heap, Brodal queue)
     • meld (junção de dois heaps): $O(n)$ (heap binário), $O(\log{n})$ (Binomial) ou $\Theta(1)$ (outras implementações)
   • Em geral todas implementações de heaps que não sejam heaps binários ou pairing heaps são complicadas de mais e podem ser mais lentas, apesar do tempo de operação teórico parecer melhor.
2. Heapify
   • Operação de criação de um heap a partir de um array de dados.
   • Utiliza os métodos sift_up e sift_down.
   • sift_up move um elemento para cima no heap
   • sift_down move um elemento para baixo no heap

   • Utilizando o algoritmo de Floyd, apenas o método sift_down é necessário e a complexidade de tempo é $O(n)$

     Começando em $\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$ até a raiz, faça sift_down do elemento.

     Para $n/2$ elementos, o esforço é zero.

     Para $n/4$ elementos, o esforço é 1.

     Para $n/8$ elementos, o esforço é 2.

     $\dots$

     Logo, a quantidade de esforço é $n\times\sum_{i=0}^\infty{\frac{i}{2^{i}}} = 2n$, portanto $\Theta(n)$

3. Representação de um Heap em um array
   • Dado um nó com índice $i$ no array (base 0):
     • Filho Esquerdo: $2i + 1$
     • Filho direito: $2i + 2$
     • Pai: $\lfloor\frac{i-1}{2}\rfloor$
     • Como as operações são sempre realizadas em números inteiros, as multiplicações e divisões são facilmente implementadas com os operadores $\gg$ e $\ll$.
4. Heapsort
   • Crie um heap máximo.
   • Substitua a raiz do heap pelo último elemento do array
   • Faça sift_down da nova raiz.
   • $n-1$ elementos sofrerão sift_down com custo $\Theta(\log{n})$, logo, o heapsort tem complexidade $O(n\log{n})$

Questões

1. Projeto: Pesquise e implemente o introsort, o algoritmo de ordenação por comparação não-estável da biblioteca padrão da linguagem de programação C++.